Números de punto fijo

El uso del tipo de dato de punto fijo es común en el procesamiento digital de señales (DSP) y en aplicaciones de juegos, donde a veces el rendimiento es más importante que la precisión. Como veremos más adelante, la aritmética de punto fijo es mucho más rápida que la aritmética de punto flotante.

Entero 43

43 en binario

5	4	3	2	1	0
1	0	1	0	1	1

Representación del valor

$1\ast 2^5=32$

$1\ast 2^3=8$

$1\ast 2^1=2$

$1\ast 2^0=1$

$32+8+2+1=43$

La mitad de 43 es 21.5 no se es un integer, pero no quiere decir que no pueda representars con un entero.

Punto binario

sistema decimal,

$2\ast {10}^1=20$

$1\ast {10}^0=1$

$5\ast {10}^{-1}=0.5$

$20+1+0.5=21.5$

1. $2\ast {10}^1$: Aquí, multiplicamos 2 por (10^1) (10 elevado a la primera potencia). Esto es igual a 20, ya que (10^1) simplemente significa 10.

2. $1\ast {10}^0$: Multiplicamos 1 por (10^0) (10 elevado a la potencia cero). Cualquier número elevado a la potencia cero es siempre 1, por lo que esto es igual a 1.

3. $5\ast {10}^{-1}$: Aquí, multiplicamos 5 por (10^{-1}) (10 elevado a la potencia negativa uno). (10^{-1}) es igual a 1 dividido por 10, es decir, 0.1. Por lo tanto, esto es igual a 0.5.

4. $20+1+0.5$: Sumamos los resultados de las tres multiplicaciones anteriores 21.5.

Entonces, la expresión completa $(2\ast {10}^1+1\ast {10}^0+5\ast {10}^{-1})$ se traduce en el valor numérico $21.5$.

Esto es una representación técnica de cómo se calcula el valor en un sistema decimal utilizando potencias de 10.

Sitema binario

Podemos utilizar el mismo concepto en sistema binario para calcular fracciones dentro de un entero.

Para todos los 1 bits a la izquierda del punto binario $2^0$, $2^1$, $2^2$ ...

Para todos los 0 bits a la derecha del punto binario $2^{-0}$, $2^{-1}$, $2^{-2}$...

Representar 21.5 en binario.

4	3	2	1	0
1	0	1	0	1

0
1

$1\ast 2^4=16$

$1\ast 2^2=8$

$1\ast 2^0=1$

$1\ast 2^{-1}=0.5$

$16+8+1+0.5=21.5$

Ahora podemos comprobar que 43 en binario es 101011 y 21.5 es 101011 la unica diferencia es que utilizamos el primer bite para representar la fracción.

Representación con punto fijo

Según el deplazamiento del punto de decimal, convertir el mismo numero binario en diferentes numeros decimales.

Para definir un tipo de punto fijo, necesitamos dos parametros.

• Ancho de la representación del numero (total bites).

• Posición del punto binario dentro del numero

fixed(w,b)

• w numero total de bites.

• bposición del punto binario.

Para representar 21.5 en puto fijo seria binario 101011 fixed(6,1)

Para el mismo binario pero con fixed(6,2)

1010 para entero.

11 para el decimal.

$1\ast 2^3=8$

$1\ast 2^1=2$

$1\ast 2^{-1}=0.5$

$1\ast 2^{-2}=0.25$

$8+2+0.5+0.25=10.75$

Para el mismo binario pero con fixed(6,4)

10 para entero.

1011 para el decimal.

$1\ast 2^1=2$

$1\ast 2^{-1}=0.5$

$1\ast 2^{-3}=0.125$

$1\ast 2^{-4}=0.0625$

$8+2+0.5+0.125+0.0625=2.6875$

Numeros negativos

Al representar números en binario, utilizamos algo llamado complemento a 2 para representar números negativos. La peculiaridad del complemento a 2 es que las operaciones aritméticas como suma, resta y desplazamiento son las mismas para números positivos y negativos.

Cuando hablamos de números en punto fijo, nos referimos a números que tienen una parte entera y una parte fraccionaria, y estos números en punto fijo son esencialmente una versión desplazada de números enteros. Al establecer el punto binario en una posición diferente de cero, cambiamos cómo interpretamos el valor del número.

La conexión entre el complemento a 2 y los números en punto fijo es que, dado que las operaciones como el desplazamiento funcionan de manera similar tanto para números positivos como para números negativos en complemento a 2, podemos usar el complemento a 2 para representar números negativos en el formato de punto fijo. Esto se logra mediante el uso del complemento a 2 para representar la parte entera del número negativo y aplicar la misma lógica al desplazar bits.

La siguiente tabla representa los valores de un número binario de 4 bits en la columna izquierda, su equivalente en decimal en la columna del medio, y la mitad de ese valor en la columna derecha.

$b^3$ $b^2$ $b^1$ $b^0$ 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

$N$ -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 7 6 5 4 3 2 1 0

$n/2$ -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

Todas las operaciones aritméticas que una computadora puede realizar en enteros también se pueden aplicar a números en punto fijo.

La desventaja de los números en punto fijo radica, por supuesto, en la pérdida de rango y precisión en comparación con las representaciones de números de punto flotante.

Por ejemplo, en una representación fixed<8,1>, nuestra parte fraccionaria solo es precisa hasta un quantum de 0.5. Si queremos representar 0.75 seria fixed<8,2>, pero luego perdemos rango en la parte entera.